Question

太阳岛公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为18与12，这30株植物的株高编写成茎叶图如图（单位：cm）：若这两种植物株高在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀品种”，株高在185cm以下（不包括185cm）定义为“非优秀品种”．
（Ⅰ）求乙品种的中位数；
（II）在以上30株植物中，如果用分层抽样的方法从“优秀品种”和“非优秀品种”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是“优秀品种”的概率是多少？
（Ⅲ）若从所有“优秀品种”中选3株，用X表示3株中含甲类“优秀品种”的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由茎叶图知乙的中间有两个数187和188，由此能求出乙的中位数．
（Ⅱ）根据茎叶图知，“优秀品种”的有12株，“非优秀品种”的有18株．用分层抽样的方法抽取，“优秀品种”的有12株，“非优秀品种”的有3株，由此能求出从5株树苗中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率．
（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能法求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）乙的中间有两个数187和188，
因此乙的中位数为：

187+188

2

=187.5cm．…（3分）
（Ⅱ）根据茎叶图知，“优秀品种”的有12株，“非优秀品种”的有18株．
用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
“优秀品种”的有12×

1

6

=2株，“非优秀品种”的有18×

1

6

=3株．…（5分）
用事件A表示“至少有一株‘优秀品种’的被选中”，
则P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
因此从5株树苗中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是

7

10

．…（7分）
（Ⅲ）依题意，一共有12株优秀品种，其中乙种树苗有8株，
甲种树苗有4株，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P（X=1）=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

，
P（X=2）=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

．
P（X=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

，…（9分）
因此X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

所以E（X）=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．