题目内容
请你设计一个LED霓虹灯灯箱．现有一批LED霓虹灯灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．
（1）用规格长×宽×高=145cm×145cm×75cm外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）？
（2）若材料成本2元/cm2，霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4元/cm2．试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？
考点：函数模型的选择与应用,基本不等式在最值问题中的应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据体积公式，先计算出每只灯箱容积V，再求导，求出最值，问题得以解决．
（2）根据表面积公式，计算出霓虹灯灯箱侧面积S，利用配方法求出最值，继而求出利润．
（2）根据表面积公式，计算出霓虹灯灯箱侧面积S，利用配方法求出最值，继而求出利润．
解答：
解：（1）V=(
x)2×
×（60-2x）=2
x2（30-x），（0＜x＜30-2
），
∴V′=6
x（20-x），当0＜x＜20时，V单调递增，当20＜x＜30-2
），V单调递减，
∴当x=2时，V最大．
此时正四棱柱形灯箱底面边长20
≈28.3（cm），高为10
≈14.1（cm），
用规格为145cm×145cm×75cm外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下5×5×5=125个灯箱．
答：至少装下125个灯箱．
（2）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2=-8（x-15）2+1800（0＜x＜30-2
），
所以x=15cm时侧面积最大，最大值是1800（cm2）此时获利最大
最大利润为（2.4-2）×1800=720
答：每个灯箱最大利润720元．
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∴V′=6
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∴当x=2时，V最大．
此时正四棱柱形灯箱底面边长20
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用规格为145cm×145cm×75cm外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下5×5×5=125个灯箱．
答：至少装下125个灯箱．
（2）S=602-4x2-（60-2x）2=240x-8x2=-8（x-15）2+1800（0＜x＜30-2
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所以x=15cm时侧面积最大，最大值是1800（cm2）此时获利最大
最大利润为（2.4-2）×1800=720
答：每个灯箱最大利润720元．
点评：本题主要考查了函数模型的构建问题，并用导数求最值的问题，属于中档题．
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