某单位280名员工参加“我爱阅读活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组:第1组[25.30).第2组[30.35).第3组[35.40).第4组[40.45).第5组[45.50).得到的频率分布直方图如图所示．( I)现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人.则年龄在第1.2.3组的员工人数分别是多少?( II)为了交流读书心得.现� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．
（ I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？
（ II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；
（ III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）

	喜欢阅读国学类	不喜欢阅读国学类	合计
男	14	4	18
女	8	14	22
合计	22	18	40

根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d

P（K²≥k₀）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

分析（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数，即可求出年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少；
（II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出其概率，即可求ξ的数学期望；
（III）求得K²的观测值，查表得P（K²≥6.635）=0.01，即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：0.02×5×280=28，28，
[1-（0.02+0.02+0.06+0.02）×5]×280=112
所以前三组抽取的人数分别为$\frac{28}{28+28+112}×12=2$，2，8（3分）
（ II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_8^1C_4^2}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$$P（{ξ=2}）=\frac{C_8^2C_4^1}{{C_{12}^3}}=\frac{28}{55}$，$P（{ξ=3}）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{14}{55}$（7分）
所以，$Eξ=0×\frac{1}{55}+1×\frac{12}{55}+2×\frac{28}{55}+3×\frac{14}{55}=2$（9分）
（Ⅲ）假设H₀：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，
求得K²的观测值$k=\frac{{40×{{（14×14-4×8）}^2}}}{22×18×22×18}≈6.8605＞6.635$，（11分）
查表得P（K²≥6.635）=0.01，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系（12分）

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