Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先利用已知条件建立关系式，通过变换再利用椭圆离心率求出结果．

解答： 解：已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2c，
则：b²=a²-c²
若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，
则：a-c＜2b＜a+c
整理得：

a-c

2

＜b＜

a+c

2

则：(

a-c

2

)2＜b2＜(

a+c

2

)2
即：

(a+c)(a-c)＞ (a-c)2 4 ① (a+c)(a-c)＜ (a+c)2 4 ②

解得：①式恒成立
②式解得：e＞

3

5

由于椭圆离心率：0＜e＜1
所以：1＞e＞

3

5

故答案为：1＞e＞

3

5

点评：本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，三角形的三边关系的应用．属于基础题型．