Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A₁F⊥C₁E；
（Ⅱ）当三棱锥B₁-BEF的体积取得最大值时，求二面角B₁-EF-B的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：设AE=BF=x．以D为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标
（Ⅰ）通过计算

A1F

•

C1E

=0，证明A₁F⊥C₁E．
（Ⅱ）判断当S_△BEF取得最大值时，三棱锥B₁-BEF的体积取得最大值．求出平面B₁EF的法向量，底面ABCD的法向量，设二面角B₁-EF-B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求出cosθ=

1

3

，然后求解二面角B₁-EF-B的正切值．

解答： 解：设AE=BF=x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），E（2，x，0），F（2-x，2，0）．
（Ⅰ）因为

A1F

=(-x，2，-2)，

C1E

=(2，x-2，-2)，
所以

A1F

•

C1E

=(-x，2，-2)•(2，x-2，-2)=0．
所以A₁F⊥C₁E．…（4分）

（Ⅱ）因为VB1-BEF=

1

3

S△BEF×BB1=

2

3

S△BEF，
所以当S_△BEF取得最大值时，三棱锥B₁-BEF的体积取得最大值．
因为S△BEF=(2-x)x=1-(x-1)2≤1，
所以当x=1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B₁-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．
设平面B₁EF的法向量为

m

=(a，b，c)，
则

m • B1E =(a，b，c)•(0，-1，-2)=0 m • EF =(a，b，c)•(-1，1，0)=0

得

b+2c=0 a-b=0.

取a=2，b=2，c=-1，得

m

=(2，2，-1)．显然底面ABCD的法向量为

n

=(0，0，1)．
设二面角B₁-EF-B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．
因为cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

1

3

，所以cosθ=

1

3

，于是sinθ=

2 2

3

．
所以tanθ=2

2

，即二面角B₁-EF-B的正切值为2

2

．…（12分）

点评：本题考查空间向量在立体几何值的应用，直线与直线的垂直，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．