Question

三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，SB=a，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°； 
②直线SB⊥平面ABC； 
③面SBC⊥面SAC；
④三棱锥S-ABC外接球的表面积为πa²．
正确的为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：由题目中的条件可以证得，三棱锥的一个侧棱SB⊥平面ABC，面SBC⊥AC，由此易判断得①②③都是正确的；再由题意可得SA为三棱锥S-ABC外接球的直径，解直角三角形求得SA后代入球的表面积公式判断．

解答： 解：由题意三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，知SB⊥BA，SC⊥CA，
又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形可得AC⊥BC，又BC∩SB=B，故有AC⊥面SBC，故有SB⊥AC，故①正确，
由此可以得到SB⊥平面ABC，故②正确，
再有AC?面SAC得面SBC⊥面SAC，故③正确，
△SAB是以SA为斜边的直角三角形，△SCA是以SA为斜边的直角三角形，∴SA为三棱锥S-ABC外接球的直径，
∵SB=a，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，∴AB=

2

a，SA=

a2+( 2 a)2

=

3

a，
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为44π×(

3 a

2

)2=3πa2，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．