Question

10．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至21日在巴西里约热内卢举行，为了选拔某个项目的奥运会参赛队员，共举行5次达标测试，选手如果通过2次达标测试即可参加里约奥运会，不用参加其余的测试，而每个选手最多只能参加5次测试，假设某个选手每次通过测试的概率都是$\frac{1}{3}$，每次测试通过与是相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（1）求该选手能够参加本届奥运会的概率；
（2）记该选手参加测试的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$，利用对立事件概率计算公式能求出该选手能够参加本届奥运会的概率．
（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、E（X）．

解答 解：（1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$，
P（$\overline{A}$）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{112}{243}$，
∴P（A）=1-P（A）=1-$\frac{112}{243}$=$\frac{131}{243}$．
（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，
P（X=2）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{28}{81}$，
由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，
当X=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过，
∴P（X=5）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{28}{81}$	$\frac{32}{81}$

E（X）=$2×\frac{1}{9}+3×\frac{4}{27}+4×\frac{28}{81}+5×\frac{32}{81}$=$\frac{326}{81}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．