题目内容

△ABC中，cosB为sinA，sinC的等比中项，sinB为cosA，cosC的等差中项，则∠B等于
 
．
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：等差数列与等比数列,解三角形
分析：由等比中项的性质得cos2B=sinAsinC，由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
，由正弦定理化为cosB=
sin2A+sin2C-sin2B
2cos2B
并化为整式，由等差中项的性质得2sinB=cosA+cosC，两边平方后由平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式进行化简，并全部转成cosB形式，再因式分解结合内角的范围求出cosB的值，即可求出角B．
解答： 解：因为△ABC中，cosB为sinA，sinC的等比中项，所以cos2B=sinAsinC，
由余弦定理得，cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
sin2A+sin2C-sin2B
2sinAsinC
=
sin2A+sin2C-sin2B
2cos2B
，
所以sin2A+sin2C=2cos3B+sin2B，①
因为sinB为cosA，cosC的等差中项，所以2sinB=cosA+cosC，
则4sin2B=cos2A+cos2C+2cosAcosC，
cos2A+cos2C=4sin2B-2cosAcosC，
所以sin2A+sin2C=2-4sin2B+2cosAcosC
代入①得，2-4sin2B+2cosAcosC=2cos3B+sin2B
则5sin2B=2+2cosAcosC-2cos3B，②
又-cosB=cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC，
则cosAcosC=-cosB+sinAsinC=-cosB+cos2B，
代入②得，5sin2B=2-2cosB+2cos2B-2cos3B
全部转成cosB形式：2cos3B-7cos2B+2cosB+3=0，
则2cos3B-2cos2B-（5cos2B-2cosB-3）=0，
因式分解得：（cosB-3）（2cosB+1）（cosB-1）=0，
解得cosB=3或1或-
1
2
，
又0°＜B＜180°，则cosB=-
1
2
，所以cosB=120°，
故答案为：120°．
点评：本题考查等比、等差中项的性质，平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式，考查化简、整合、变形能力，难度较大，需要熟练掌握公式和较强的逻辑思维能力．
练习册系列答案
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有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数是28，中间两数的和是10，求这四个数．
求函数y=lg（3-x）+
16-x2
的定义域．
已知函数f（x）=
2
sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为
π
2
，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如：当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有定义域均为D的函数f（x），g（x），给出下面结论：
①如果f（x）∈B，那么f（x）可能没有最大值；
②如果f（x）∈A，g（x）∈A，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
③如果f（x）∈A，g（x）∈B，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
④如果f（x）∈A，那么对任意b∈R，总存在a∈D，使得f（a）=b．
其中正确的有
 
（写出所有正确结论的序号）．
已知：f（x）=
x2+ax+b
x
，x∈（0，+∞）
（1）若b≥1，求证：函数f（x）在（0，1）上是减函数；
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②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
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A、（-2，+∞）
B、（0，+∞）
C、（1，+∞）
D、（4，+∞）
若方程|-x2+4x-3|=kx有三个实数解，求k的值．
设f1（x）=2x-1，f2（x）=x2，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f2（n），数列{bn}中，b1=2，bn=f1（bn-1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn-1}是等比数列．

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