Question

设a＞0且a≠1，f（logax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
（1）求f（x）的函数解析式，并求其定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并证明之；
（3）对于f（x），当x∈（-2，2）时，f（2-m）+f（2-m2）＜0，求m的值的集合．
（4）函数f（x）-3恰在（2，+∞）上取正值，求a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设t=log_ax，x=a^t，代入求解即可．（2）利用奇偶性定义，单调性定义推导证明，讨论a的范围．
（3）根据奇偶性，单调性转化∴

2-m＜m2-2 -2＜2-m＜2 -2＜m2-2＜2

，求解得出

m＞ -1+ 17 2 ，或m＞ -1- 17 2 0＜m＜4 -2＜m＜2

即可得出答案．（4）f（2）-3=0，代入解方程即可，

解答： 解：（1）∵设a＞0且a≠1，f（logax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
∴设t=log_ax，x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）定义域为R，
（2）∵f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）的奇函数，
当a＞1时，x₁＜x₂，
f（x₁）=

a

a2-1

（a^x  1-a^- x1），
f（x₂）=

a

a2-1

（a^x  2-a^- x2），
∵a x1＜ax2，a -x1＞a -x2，

a

a2-1

＞0，
∴（a^x  1-a^- x1）＜（a^x  2-a^- x2），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）单调递增，
当0＜a＜1时，x₁＜x₂，
∵a x1＞a x2，a -x1＜a -x2，

a

a2-1

＜0，
∴（a^x  1-a^- x1）＞（a^x  2-a^- x2），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）单调递增，
（3）当x∈（-2，2）时，f（2-m）+f（2-m2）＜0，
f（2-m）＜f（m²-2），
∴

2-m＜m2-2 -2＜2-m＜2 -2＜m2-2＜2

，即

m＞ -1+ 17 2 ，或m＞ -1- 17 2 0＜m＜4 -2＜m＜2

故实数m的范围为：（

-1+ 17

2

，2）
（4）∵f（x）单调递增，
∴g（x）=f（x）-3单调递增，
∵恰在（2，+∞）上取正值，
∴g（2）=0，
即f（2）-3=0
∵f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），
∴

a

a2-1

a4-1

a2

=3，

a2+1

a

=3，
a²-3a+1=0，
故a=

3± 5

2

点评：本题综合考查了函数的性质，方程，不等式，综合性较强，属于难题．