Question

11．设$\overrightarrow{a}$=（cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinx-cosx，-1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的对称轴方程和对称中心的坐标；
（3）求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积和二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求出f（x）的解析式，
（2）根据称轴方程和对称中心的坐标的定义即可求出，
（3）根据正弦函数的图象和性质即可求出

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinx-cosx，-1），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$=cosx（sinx-cosx）+1-$\frac{1}{2}$=cosxsinx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3}{8}$π，k∈Z，
对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3}{8}$π，k∈Z，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{8}$π，k∈Z，
∴对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{8}$π，0）k∈Z，
（3）∵f（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{1}{2}$
即sin（2x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+kπ，
∴不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集为[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和三角函数的化简，以及正弦函数的有关性质，属于基础题