Question

1．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x-1）+g（x-1）=2^x，则函数f（x）=2^x-2^-x．

Answer 1

分析 根据题意，由于f（x-1）+g（x-1）=2^x，则f（x）+g（x）=2^x+1，同理可得f（-x）+g（-x）=2^-x+1，利用函数的奇偶性可得-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，联立①②可得f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1），对其变形可得答案．

解答 解：根据题意，f（x-1）+g（x-1）=2^x，则f（x）+g（x）=2^x+1，①，
进而有f（-x）+g（-x）=2^-x+1，
又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，
则有f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），
即有-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，
联立①②可得：f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1）=2^x-2^-x，
即f（x）=2^x-2^-x，
故答案为：2^x-2^-x

点评 本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数解析式的求法，注意先求出f（x）+g（x）的解析式．