Question

2．已知△ABC的面积为8，cosA=$\frac{3}{5}$，D为BC上一点，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，过点D做AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=-$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用△ABC的面积求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|的值，再利用$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$求出D是BC的四等分点，计算S_△ABD和S_△ACD的值，求|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|的值，从而求出|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|的值，计算数量积$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•$\frac{4}{5}$=8，
即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=20；
设$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BC}$，λ∈（0，1），
则$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，∴λ=$\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•h}{\frac{1}{2}CD•h}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{1}$=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|=12；
又S_△ACD=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=2，
∴|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=4；
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=48，
∴|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=$\frac{48}{20}$=$\frac{12}{5}$，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|•cos（180°-A）=$\frac{12}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{36}{25}$．
故答案为：-$\frac{36}{25}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角形面积公式的应用问题，是综合题．