Question

已知函数y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图1所示，它刻画了质点P做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l的位置值y（|y|是质点与直线l的距离（米），质点在直线l上方时，y为正，反之y为负）随时间t（秒）的变化过程．则

（1）质点P运动的圆形轨道的半径为

 

米；
（2）质点P旋转一圈所需的时间T=

 

秒；
（3）函数f（t）的解析式为：

 

；
（4）图2中，质点P首次出现在直线l上的时刻t=

 

秒．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图1可得A=2，可得质点P运动的圆形轨道的半径为2．
（2）质点P旋转一圈所需的时间T，即函数y=Asin（ωt+φ）的周期．把点（0，-1）代入函数的解析式求得φ；再把点（

2

3

，2）代入函数的解析式求得ω，可得函数的周期．
（3）由（2）中的φ、ω的值，可得f（t）的解析式．
（4）令f（t）=2sin（πt-

π

6

）=0，求得πt-

π

6

=kπ，k∈z，求得t的最小正值，即为所求．

解答： 解：（1）由图1可得A=2，故质点P运动的圆形轨道的半径为2，故答案为：2．
（2）质点P旋转一圈所需的时间T，即函数y=Asin（ωt+φ）的周期，
把点（0，-1）代入函数的解析式可得2sinφ=-1，可得sinφ=-

1

2

，再结合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

．
再把点（

2

3

，2）代入函数的解析式可得 2sin（ω•

2

3

-

π

6

）=2，即sin（ω•

2

3

-

π

6

）=1，（ω•

2

3

-

π

6

）=

π

2

，求得ω=π，
故函数的周期为

2π

π

=2，
故答案为：2．
（3）由（2）可得f（t）=2sin(πt-

π

6

)，
故答案为：f（t）=2sin（πt-

π

6

）．
（4）令f（t）=2sin（πt-

π

6

）=0，求得πt-

π

6

=kπ，k∈z，可得t的最小正值为

1

6

，
故答案为：

1

6

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．