Question

9．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$图象上任意两点，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），已知点M的横坐标为$\frac{1}{2}$．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），其中n∈N^*，且n≥2，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）由（1）知f（x）+f（1-x）=1，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），两式向加得，求出答案．

解答 解：（1）依题意$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），由知M为线段AB的中点，
又因为M的横坐标为$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=1+log₂（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）=1+log₂1=1，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$，
∴点M的纵坐标为定值$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知f（x）+f（1-x）=1，
∵n≥2时，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
∴S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
两式向加得，2S_n=n-1，
∴S_n=$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*且n≥2）．

点评 本题考查了数列与函数、函数的图象，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题