Question

14．已知sin（3π+θ）=$\frac{1}{4}$，求$\frac{sin（π+θ）}{sinθ[cos（π+θ）-1]}$-$\frac{sin（θ-2π）}{cos（θ+2π）sin（π+θ）-sin（-θ）}$．

Answer 1

分析 利用已知及诱导公式，同角三角函数基本关系式可得：sinθ=-$\frac{1}{4}$，cosθ=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，利用诱导公式化简所求后即可代入计算求解．

解答 解：∵sin（3π+θ）=-sinθ=$\frac{1}{4}$，可得：sinθ=-$\frac{1}{4}$，cosθ=±$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴$\frac{sin（π+θ）}{sinθ[cos（π+θ）-1]}$-$\frac{sin（θ-2π）}{cos（θ+2π）sin（π+θ）-sin（-θ）}$
=$\frac{-sinθ}{sinθ（-cosθ-1）}$-$\frac{sinθ}{cosθ（-sinθ）+sinθ}$
=$\frac{1}{cosθ+1}$-$\frac{1}{1-cosθ}$
=$\frac{1-cosθ-（1+cosθ）}{（1+cosθ）（1-cosθ）}$
=-$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$
=-$\frac{2×（±\frac{\sqrt{15}}{4}）}{\frac{1}{16}}$
=±8$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．