Question

已知函数f（x）=（nx-n+2）•e^x，（其中n∈R，e为自然数的底数）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]的最大值；
（Ⅱ）若函数g（x）=n²x²-13nx-30（n＞1，n∈N^*），当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，求最大正整数n．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e^x，再讨论①n=0时，②n＞0时，③n＜0时的情况，从而综合得出f（x）max=

-n•e- 2 n ，n＜-2 2e，         n≥-2

；
（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n²x²-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），得2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），得当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，从而p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，故所求的最大正整数n=14．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e^x，
①n=0时，f′（x）=2e^x＞0，f（x）在[0，1]上递增，
∴f（x）_max=f（1）=2e，
②n＞0时，f′（x）=（nx+2）e^x=n（x+

2

n

）e^x，f（x）在（-

2

n

，+∞）上递增，
∴f（x）在[0，1]上是增函数，此时f（x）_max=f（1）=2e，
③n＜0时，f（x）=（nx+2）e^x=n（x+

2

n

）e^x，
f（x）在（-∞，-

2

n

）上递增，在（-

2

n

，+∞）上递减，
若0＜-

2

n

＜1，即n＜-2时，故f（x）在[0，-

2

n

]上为增函数，在[-

2

n

，1]上为减函数，
此时f（x）_max=f（-

2

n

）=-n•e-

2

n

，
若-

2

n

≥1，即-2≤n＜0时，f（x）在[0，1]上为增函数，则此时f（x）_max=f（1）=2e，
综上：f（x）max=

-n•e- 2 n ，n＜-2 2e，         n≥-2

；
（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n²x²-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），
f′（x）=（nx+2）•e^x，
当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），
∴2e^x＞（nx-15），设p（x）=2e^x-（nx-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，
∵p′（x）=2e^x-n，故p（x）在（0，ln

n

2

）上递减，在（ln

n

2

，+∞）递增，
故（*）?p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，
设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，
则h′（x）=-ln

x

2

，
故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
而h（2e²）=15=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln

15

2

）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，
又∵h（1）=16-ln

1

2

＞0，14＜2e²＜15，
故所求的最大正整数n=14．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．