Question

【题目】已知函数在处的切线与轴平行．

（Ⅰ）试讨论在上的单调性；

（Ⅱ）（ⅰ）设，求的最小值；

（ⅱ）证明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 答案见解析；(Ⅱ) （ⅰ）2.（ⅱ）证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，满足题意时，则，据此分类讨论可得：

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）（ⅰ）由题意可得：，则函数的最小值为.

（ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分析法可得题中的不等式等价于.由导函数的性质可得：，据此即可证得题中的结论.

详解：（Ⅰ），

当时，时时，

在上单调递减，在上单调递增．

当时，时时，

在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）（ⅰ）∵，

∴当时，，当时，，

∴在单调递减，在单调递增∴．

（ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴由，可得，

即，

，

，

，

即，

设，

，

在单调递减，在单调递增．

，

又∵在时，，

∴成立．

即成立．