Question

【题目】设常数a≥0，函数f（x）= ．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=4，

∴

∴ ，

∴ ，

∴调换x，y的位置可得 ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，

∴ = ，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．

∵2x﹣2﹣x不恒为0，

∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；

若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，

∴ =﹣ ，整理可得a2﹣1=0，

∴a=±1，

∵a≥0，

∴a=1，

此时f（x）= ，满足条件；

当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数

综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数

【解析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．
【考点精析】利用函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．