Question

过曲线

x2

4

+y²=1（x＞0，y＞0）上的一点C（x₀，y₀），引曲线的切线分别与x正半轴、y正半轴交于A、B两点．
（1）求证：切线AB的方程为

xx0

4

+yy₀=1；
（2）求线段AB最短时切点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求导数可得切线的斜率，从而可得切线AB的方程；
（2）表示出线段AB，利用导数求最值，即可得到线段AB最短时切点的坐标．

解答： （1）证明：曲线

x2

4

+y²=1（x＞0，y＞0），则y=

1- x2 4

，
∴yy′|x=x0=-

x0

4y0

，
∴切线AB的方程为y-y₀=-

x0

4y0

（x-x₀），即

xx0

4

+yy₀=1；
（2）解：切线在x轴、y轴上的截距分别为

4

x0

、

1

y0

，∴l²=

16

x02

+

1

y02

．
∵P（x₀，y₀）在曲线上，
∴y₀²=1-

x02

4

．
∴l²=

16

x02

+

4

4-x02

（0＜x₀＜2）．
令t=l²=

16

x02

+

4

4-x02

（0＜x₀＜2）．
则t′=-

32

x03

+

8x0

(4-x02)2

．
当t′=0时，有x₀=

2 6

3

，在（0，2）内t只有一个极值点，检验知，在这点t取得极小值，也是最小值．
∴当x₀=

2 6

3

时，l²取得最小值9．
∴l的最小值为3，此时y₀=

3

3

，切点为（

2 6

3

，

3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查导数知识的运用，正确求出切线方程是关键．