Question

已知函数f（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）判断函数y=f（x）在[e^-2，+∞）上零点的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导数，令导数值为0，解出x的值，从而求出函数的单调区间；
（2））由e^-2=

1

e2

＜

2

3

且f（e^-2）＜0，再和函数的最值比较，从而得到函数的零点个数．

解答： 解：（1）∵f′x）=

3

4

x-2+

1

x

=

3x2-8x+4

4x

，
令f′（x）=0，解得：x=

2

3

，x=2，
∴函数f（x）的增区间为：（0，

2

3

），（2，+∞），减区间为（

2

3

，2）；
（2）∵e^-2=

1

e2

＜

2

3

且f（e^-2）=

3

8

e^-4-2e^-2=e^-2（

3

8

e^-2-2）＜0，
而f（x）_min=f（2）=-

1

2

+ln2＞0，f（x）_max=f（

2

3

）＞f（2）＞0，
∴函数y=f（x）在[e^-2，+∞）有且只有一个零点．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道基础题．