题目内容
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={
|
=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个向量
=（x1，y1），
=（x2，y2），
?
当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：
①若
=（1，0），
=（0，1），
=（0，0），则
?
?
；
②若
＞
，
＞
，则
＞
；
③若
＞
，则对于任意
∈D，（
+
）＞（
+
）；
④对于任意向量
＞
，
=（0，0）若
＞
，则
•
＞
•
．
其中真命题的序号为 ．
| a |
| a |
| a1 |
| a2 |
| a1 |
| a2 |
①若
| e1 |
| e2 |
| 0 |
| e1 |
| e2 |
| 0 |
②若
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| a1 |
| a3 |
③若
| a1 |
| a2 |
| a |
| a1 |
| a |
| a2 |
| a |
④对于任意向量
| a |
| 0 |
| 0 |
| a1 |
| a2 |
| a |
| a1 |
| a |
| a2 |
其中真命题的序号为
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据已知条件中，
?
当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“?”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
| a1 |
| a2 |
解答：
解：对于任意两个向量
=（x1，y1），
=（x2，y2），
?
当且仅当“x1＞x2”
或“x1=x2 且y1＞y2”，
对于①，若
=（1，0），
=（0，1），
=（0，0），则
?
，且
?
，故①正确．
对于②，设向量
=（x1，y1），
=（x2，y2），
=（x3，y3），若
?
，
?
，
则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．
故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有
?
．
对于③，若
?
，则对于任意
∈D，设
=（x，y），
=（x1，y1），
=（x2，y2），
∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，
∴（
+
）?（
+
），故③正确．
对于④，设设
=（x，y），
=（x1，y1），
=（x2，y2），
由
?
，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；
由
?
，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；
可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，
所以
•
?
•
不成立，所以④不正确，
故答案为：①②③．
| a1 |
| a2 |
| a1 |
| a2 |
或“x1=x2 且y1＞y2”，
对于①，若
| e1 |
| e2 |
| 0 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| 0 |
对于②，设向量
| a1 |
| a2 |
| a3 |
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．
故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有
| a1 |
| a3 |
对于③，若
| a1 |
| a2 |
| a |
| a |
| a1 |
| a2 |
∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，
∴（
| a1 |
| a |
| a2 |
| a |
对于④，设设
| a |
| a1 |
| a2 |
由
| a |
| 0 |
由
| a1 |
| a2 |
可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，
所以
| a |
| a1 |
| a |
| a2 |
故答案为：①②③．
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“?”，正确理解新定义“?”的实质，是解答的关键，属于中档题．
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