Question

17．已知直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x²+（y-1）²=5相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 求出直线所过定点，设出A，B，M的坐标，临沂点差法结合斜率相等列式得答案．

解答 解：由直线l：mx-y+1-m=0，知直线过定点P（1，1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点M（x，y），
则${{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}=5$，${{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}=5$，
两式作差得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}-2}$，
即${k}_{AB}=-\frac{2x}{2y-2}$=$-\frac{x}{y-1}$，
又${k}_{AB}={k}_{PM}=\frac{y-1}{x-1}$，
∴$\frac{y-1}{x-1}=-\frac{x}{y-1}$，整理得：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了“点差法”求与中点弦有关的问题，是中档题．