题目内容
19．已知函数$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，其中a＞0且a≠1．（1）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的实数m的取值集合．
分析 （1）要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即 $\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，由此求得a的范围；
（2）由题意可得 f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），得到关于m的不等式组，解出即可．
解答 解：（1）由于函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，要使f（x）-4的值恒为负，
只要f（2）-4≤0，即 $\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a2-a-2）-4≤0，即$\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，
解得 2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$，且a≠1，即a的范围[2-$\sqrt{3}$，1）、（1，2+$\sqrt{3}$]．
（2）由于函数y=f（x）的定义域为（-1，1），
故由不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得 1＜m＜$\sqrt{2}$．
点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
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7．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
| A． | 若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β | B． | 若m∥n，m?α，n?β，则α∥β | ||
| C． | 若α⊥β，m⊥β，则m∥α | D． | 若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β |
14．用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m∥α，α⊥β则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，
其中，正确命题是（ ）
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m∥α，α⊥β则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，
其中，正确命题是（ ）
| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ④ |
4．函数f（x）=-x2+2x，x∈[-1，3]，则任取一点x0∈[-1，3]，使得f（x0）≥0的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |