Question

9．在等差数列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁与a₄的等比中项．
（1）求a_n；
（2）设b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由题意（a₁+2）²=a₁（a₁+6），求出首项a₁=2，由此能求出结果．
（2）由b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•2²ⁿ=（-4）ⁿ，能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁与a₄的等比中项，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，
∴（a₁+2）²=a₁（a₁+6），
解得a₁=2，
∴a_n=2n．
（2）b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•2²ⁿ=（-4）ⁿ，
∴数列{b_n}是首项为-4，公比为-4的等比数列，
∴求数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$=-$\frac{4+（-4）^{n+1}}{5}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．