Question

11．对于下列命题：
①若命题p：?x∈R，使得tanx＜x，命题q：?x∈R⁺，lg²x+lgx+1＞0则命题“p且?q”是真命题；
②若随机变量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，则$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$
③“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y²=xz”成立的充要条件；
④已知ξ服从正态分布N（1，2²），且P（-1≤ξ＜1）=0.3，则P（ξ≥3）=0.2
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断，
②根据随机变量的期望和方差公式进行求解判断，
③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据正态分布的性质进行求解判断．

解答 解：①若命题p：?x∈R，使得tanx＜x，则当x=$\frac{5π}{4}$时，tan$\frac{5π}{4}$=-1，满足tanx＜x，故p是真命题，
命题q：?x∈R⁺，lg²x+lgx+1＞0为真命题，
∵判别式△═1-4=-3＜0，∴lg²x+lgx+1＞0恒成立，则命题“p且?q”是假命题，故①错误，
②若随机变量ξ～B（n，p），由Eξ=6，Dξ=3，得np=6，npq=3，
则q=$\frac{1}{2}$，即p=$\frac{1}{2}$，n=12，
则P（ξ=1）=${C}_{6}^{1}$$•\frac{1}{2}$$•（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{3}{32}$，
则$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$错误，故②错误，
③“lgx，lgy，lgz成等差数列”则2lgy=lgx+lgz，即lgy²=lgxy，
则y²=xz，且x，y，z＞0，此时y²=xz成立，
反之当x=0，y=0，z=0时，满足y²=xz，但lgx，lgy，lgz无意义，即必要性不成立，
则“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y²=xz”成立的充要条件错误，故③错误，
④已知ξ服从正态分布N（1，2²），且P（-1≤ξ＜1）=0.3，则P（1≤ξ＜3）=P（-1≤ξ＜1）=0.3，
则P（ξ≥3）=0.5-P（1≤ξ＜3）=0.5-0.3=0.2，故④正确，
故正确的是④，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度不大．