Question

10．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若$|AB|=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用体积设出椭圆的方程，求出椭圆的几何量即可．
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，设出AB坐标，利用韦达定理结合弦长公式求直线的斜率，即可得到结果．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，因为c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2，则b=$\sqrt{3}$．
所以椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线方程为：y=kx+1，
则由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，
又$|AB|=\sqrt{1-{k^2}}|x-{x_1}|=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，
得16k⁴-24k²-7=0，
解得${k^2}=\frac{1}{4}$，即$k=±\frac{1}{2}$．
所以直线l的方程为$y=±\frac{1}{2}x+1$，即x-2y+2=0或x+2y-2=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．