Question

4．设集合A={x|x（x+4）=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}，C={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}．
（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（2）求A∪C和A∩C．

Answer 1

分析 （1）化简A，根据A∩B=B，得B⊆A，然后分B为空集，单元素集合，双元素集合讨论求解a的取值范围；
（2）对a分类讨论，即可求A∪C和A∩C．

解答 解：（1）A={-4，0}，
由A∩B=B，得B⊆A，
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）＜0，即a＜-1时，B=∅，符合题意；
当△=[2（a+1）]²-4（a²-1）≥0，即a≥-1时，
若a=-1，则B={0}，符合题意；
当a＞-1时，由B⊆A，且A={-4，0}，
可知a+1=2，a=1．
∴满足A∩B=B的实数a的取值范围为a=1或a≤-1．
（2）a=3时，C={3}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C=∅．
a=0时，C={3，0}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C={0}．
a=-4时，C={3，-4}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C={-4}．
a=3，0，-4时，C={3，a}，∴A∪C={-4，0，3，a}，A∩C=∅．

点评 本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于中档题．