Question

12．函数y=x³-3x²-9x，x∈[-2，0]的值域是[-2，5]．

Answer 1

分析 可求导数，y′=3x²-6x-9，令y′=0可求出x=-1，3，从而可以得到x∈[-2，-1）时，y′＞0，x∈（-1，0]时，y′＜0，这样便可得出x=-1时y取最大值，再比较-2，0对应的函数值的关系，即可得出y的最小值，这样便可得到原函数的值域．

解答 解：y′=3x²-6x-9，令y′=0得，x=-1，或3；
∴x∈[-2，-1）时，y′＞0，x∈（-1，0]时，y′＜0；
∴x=-1时，y取到最大值5；
又x=-2时，y=-2，x=0时，y=0；
∴y的最小值为-2；
∴原函数的值域为[-2，5]．
故答案为：[-2，5]．

点评 考查对二次函数值符号的判断，根据导数符号求函数的最大值、最小值的方法和过程，以及根据导数求函数在闭区间上的值域的方法．