Question

6．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2015）=1．

Answer 1

分析 先根据条件求出函数f（x）的周期为4，再根据周期把所求问题转化，即可求出答案．

解答 解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=f（x），
所以函数的周期T=4，f（2015）=f（3）；
令x=-1，f（1）•f（-1）=1=f²（1），
又f（x）＞0，
∴f（1）=1，f（3）=$\frac{1}{f（1）}$=1；
∴f（2015）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了函数周期性的应用问题，解题时要利用好题中f（x+2）•f（x）=1的关系式，是基础题目．