Question

已知数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=16b_n（n∈N），设数列{

bn

}的前n项和是T_n．
（1）比较T_n+1²与T_n•T_n+2的大小；
（2）若数列{a_n} 的前n项和S_n=2n²+2n+2，数列{c_n}=a_n-log_db_n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c_n}是递增数列．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式可得数列{b_n}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得

bn

=4n-1，然后由等比数列的前n项和求得T_n，再由作差法证明T_n+1²＞T_n•T_n+2；
（2）由S_n=2n²+2n+2求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_n-log_db_n=4n+（4-4n）log_d2=（4-4log_d2）n+4log_d2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．

解答： 解：（1）由b_n+1=16b_n，得数列{b_n}为公比是16的等比数列，
又b₁=1，∴bn=16n-1，因此

bn

=4n-1，
则Tn=

b1

+

b2

+…+

bn

=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

(4n-1)，
∵T_n+1²-T_n•T_n+2 =

1

9

(1-4n+1)2-

1

9

(1-4n)(1-4n+2)=4n＞0．
于是T_n+1²＞T_n•T_n+2；
（2）由S_n=2n²+2n+2，当n=1时求得a₁=S₁=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n．
a₁=4满足上式，∴a_n=4n．
可得c_n=a_n-log_db_n=4n+（4-4n）log_d2=（4-4log_d2）n+4log_d2，
要使数列{c_n}是递增数列，则4-4log_d2＞0，即log_d2＜1．
当0＜d＜1时，有log_d2＜0恒成立，当d＞1时，有d＞2．
综上，d∈（0，1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．