Question

已知f（x）=lg

1-mx

x-1

是奇函数
（1）求m的值及函数f（x）的定义域；
（2）根据（1）的结果判定f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇函数的定义和条件f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg

1-mx

x-1

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
则lg

1+mx

-x-1

+lg

1-mx

x-1

=lg（

1+mx

-x-1

•

1-mx

x-1

）=0，
即

1+mx

-x-1

•

1-mx

x-1

=

1-(mx)2

1-x2

=1，
即1-（mx）²=1-x²，
即m²=1，
则m=1或m=-1，
若m=1，则f（x）=lg

1-mx

x-1

=lg

1-x

x-1

=lg（-1）不成立，
若m=-1，则f（x）=lg

1-mx

x-1

=lg

1+x

x-1

，满足条件，
由

1+x

x-1

＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}；
（2）f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，下面给出证明．
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

x1-1

-lg

1+x2

x2-1

=lg

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

，
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞1，
即lg

(1+x1)(x2-1)

(x1-1)(1+x2)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）．
即f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，根据函数的奇偶性和单调性是正确解题的关键．