题目内容
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+k•3n+1（k是与n无关的常数且k≠0），设bn=
．
（1）证明数列{bn}是等差数列；
（2）若数列{an}是单调递减数列，求k的取值范围．
| an |
| 3n |
（1）证明数列{bn}是等差数列；
（2）若数列{an}是单调递减数列，求k的取值范围．
考点：数列递推式,数列的函数特性
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由an+1=3an+k•3n+1，可得
=
+k，可得bn+1-bn=k为常数，即可证明；
（2）由（1）可得bn=
+(n-1)k=kn+
-k．可得an=3n(kn+
-k)，利用数列{an}是单调递减数列，可得an＞an+1，解出即可．
| an+1 |
| 3n+1 |
| an |
| 3n |
（2）由（1）可得bn=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：
（1）证明：∵an+1=3an+k•3n+1，∴
=
+k，
∵bn=
，∴bn+1-bn=k为常数，
∴数列{bn}是等差数列，首项为
=
，公差是常数k；
（2）解：由（1）可得bn=
+(n-1)k=kn+
-k．
∴an=3n(kn+
-k)，
∵数列{an}是单调递减数列，
∴an＞an+1，
∴3n(kn+
-k)＞3n+1(kn+
)，
∴k＜
，
∵数列{
}是单调递增数列，
∴k＜
．
∴k的取值范围是k＜
．
| an+1 |
| 3n+1 |
| an |
| 3n |
∵bn=
| an |
| 3n |
∴数列{bn}是等差数列，首项为
| a1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）解：由（1）可得bn=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴an=3n(kn+
| 1 |
| 3 |
∵数列{an}是单调递减数列，
∴an＞an+1，
∴3n(kn+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴k＜
| -2 |
| 3(2n+1) |
∵数列{
| -2 |
| 6n+3 |
∴k＜
| -2 |
| 9 |
∴k的取值范围是k＜
| -2 |
| 9 |
点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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