Question

已知函数f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）取得最大值时的x集合；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用整体思想求出函数的最值和单调区间．
（3）利用正弦函数的变换规律求出结果．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）
=

3

sin(2x-

π

6

)-cos(2x-

π

6

)+1，
=2sin(2x-

π

3

)+1，
所以：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

，
所以单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
（2）令：2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，
函数f（x）取得最大值的x集合为：
{x|x=kπ+

5π

12

，k∈Z}，
（3）先将函数y=sinx的图象向右平移

π

3

个单位；再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

倍； 再横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍；最后整个图象向上平移1个单位．或者先将函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

倍；再将图象向右平移

π

6

个单位；再横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍；最后整个图象向上平移1个单位．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦型函数的单调区间的确定，函数图象得变换问题．属于基础题型．