Question

【题目】已知梯形中，,,,,是上的点，是的中点，沿将梯形折起，使平面平面.

（1）当时，求证：；

（2）记以为顶点的三棱锥的体积为，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】证明见解析；最大值

【解析】

(1)由平面平面,,可得,进而由面面垂直的性质定理得到平面,进而建立空间坐标系,求出的方向向量,根据两个向量的数量积为,即可证得;

(2)根据等体积法,我们可得的解析式,根据二次函数的性质,易求出有最大值;

(3)根据(2)的结论,我们求出平面和平面的法向量,代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.

解：(1)证明：因为平面平面,

,,

,平面,

,,

又,故可如图建立空间坐标系：

又因为是的中点,,.

则,,

,

(2)平面,

所以

,

即：时有最大值为

(3)设平面的法向量为,

,、、,

、,

则,

即

取

平面

平面一个法向量为

则.