Question

【题目】已知是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，记．

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）证明：“数列单调递增”是“”的充要条件；

（3）若对任意恒成立，证明：数列的通项公式为．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据定义可直接求得，从而可计算.

（2）先证明充分性，可根据数列的单调性得到，从而可得，再证明必要性，先从可得，再根据可得，依次类推可以得到，从而得到数列为单调增数列.

（3）当时，我们得到，就全为零和不全为零分类讨论即可.

（1）当，数列是递减数列，最大为，

又，

所以， ，所.

（2）充分性：数列单调递增，则，

则，

所以.

必要性：对于数列， 即，

当时，，所以，

当时，，，所以，

同理即数列单调递增，

故“数列单调递增”是“”的充要条件．

（3）当时，，因为，所以，

所以，

若设全为零，则，

时，故，其中任意的.

若不全为零，设诸中第一个为零的记为，

则中，即，

其中，所以，

因为，所以对任意的总成立，

所以，下面考虑，

因为即，

因为，所以，

故对任意的，总有，

则，因为，

所以，这与任意的，总有矛盾，

所以不全为零不成立，

所以，其中任意的.