Question

【题目】已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标；

（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.

Answer 1

【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，并求出抛物线的焦点坐标；

（2）设，，、，设直线的方程为，其中，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量共线求出点、的坐标，然后将韦达定理代入，利用向量数量积的坐标运算计算出，即可证明出结论成立.

（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；

（2）设，，、.

因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，

与抛物线方程联立得到，消去，得，

则由韦达定理得，.

，，

，，即，

显然，，，，

则点，同理可求得点的坐标为，

所以，，

，因此，以为直径的圆过原点.