Question

【题目】如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出⊥BD．BD⊥AC．从而BD⊥平面AC，由此能证明．

（2）如图，设AC交BD于点O，以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．

证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．

因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面A．

又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．

所以BD⊥．

（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，

所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．

以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则，

由，得B1（）．

因为E是棱BB1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，0，0）．

设（x，y，z）为平面的法向量，

则，取z＝3，得（0，4，3），

平面的法向量（0，1，0），

又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，

设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，

则cosθ，

所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．