Question

【题目】在直角坐标平面上的一列点简记为，若由构成的数列满足，（其中是与轴正方向相同的单位向量），则称为“点列”.

（1）试判断：，...是否为“点列”？并说明理由.

（2）若为“点列”，且点在点的右上方.任取其中连续三点，判断的形状（锐角，直角，钝角三角形），并证明.

（3）若为“点列”，正整数满足：，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）是“点列”,理由见解析；（2）钝角三角形，证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据所给的个点的坐标，观察出数列的通项公式，把数列的通项代入新定义的数列，验证数列满足，得到是点列的结论．
（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．
（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，即可得到向量的数量积之间的关系．

解：（1）由题意可知，

，
，

，
∴是点列；
（2）在中，
，，
，
∵点在点的右上方，
，
∵是点列，
，
，则，

为钝角，
为钝角三角形；
（3），
①
②
同理③
由于是点列，于是④
由①、②、③、④可推得，
，

又由（1）知
．