Question

【题目】设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．

（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．

Answer 1

【答案】(1) [，+∞）．(2)答案不唯一，见解析

【解析】

（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；

（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．

解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；

即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；

当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；

当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，

满足，解得a≥；

综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．

（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，

得ax2+（1-a）x-1＜0，

①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集为（-∞，1）；

当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；

②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集为（，1）；

③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，

当-1＜a＜0时，1＜，

不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，1＞，

不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；