Question

已知平面上的动点R（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线RA、RB斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=-

3

4

，设动点R的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S（4，0），问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．交曲线C于点Q．求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由斜率公式化简可得曲线C的方程，
（Ⅱ）设出MP的方程，借助斜率公式，韦达定理等化简证明．

解答： 解（Ⅰ）由题知x≠±2，且k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，
则

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，
整理得，曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．
（Ⅱ）设MP与x轴交于D（t，0），则直线MP的方程为x=my+t（m≠0），
记M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由对称性知Q（x₁，-y₁），N（x₂，-y₂），
由

3x2+4y2=12 x=my+t

消x得：（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
所以△=48（3m²+4-t²）＞0，且y1，2=

-6mt± △

2(3m2+4)

，
故

y1+y2=- 6mt 3m2+4 y1•y2= 3t2-12 3m2+4

由M、N、S三点共线知k_MS=k_NS，即

y1

x1-4

=

-y2

x2-4

，
所以y₁（my₂+t-4）+y₂（my₁+t-4）=0，整理得2my₁y₂+（t-4）（y₁+y₂）=0，
所以

2m(3t2-12)-6mt(t-4)

3m2+4

=0，即24m（t-1）=0，t=1，
所以直线MP过定点D（1，0），同理可得直线NQ也过定点D（1，0），
即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点，且定点坐标为（1，0）．

点评：本题考查了斜率公式的应用及直线方程的设法及圆锥曲线的处理方法，属于难题．