Question

16．已知动点P在椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$上，若点A的坐标为（3，0），点M满足$|\overrightarrow{AM}|=1$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，则$|\overrightarrow{PM}|$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，由题设条件，结合向量的性质，推导出|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，再由|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，能求出|$\overrightarrow{PM}$|的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$中，a=6，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{36-27}$=3，
∵$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，∴$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{AM}$，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-|$\overrightarrow{AM}$|²
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，∴|$\overrightarrow{AM}$|²=1，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，
∵|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，
结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，
|$\overrightarrow{AP}$|取最小值a-c=6-3=3，
∴|$\overrightarrow{PM}$|最小值是$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，是中档题．