Question

18．设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在$[0，\frac{π}{2n}]$上的面积为$\frac{1}{n}$（n∈N^*），则函数y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面积为$2π+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先通过类比可以得出y=sin3x在[0，π]上的面积．设t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，则y=sin3t+2，得到封闭图形的面积．

解答 解：设t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，则y=sin3t+2，∵函数y=sinnx在[0，$\frac{π}{2n}$]上的面积为$\frac{1}{n}$（n∈N^*），∴对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴y=sin3x在[0，$\frac{π}{6}$]上的面积为$\frac{1}{3}$；所以在[0，$\frac{π}{3}$]的面积为$\frac{2}{3}$，在[0，π]的面积为2；
∴y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面积为2π+2，
故答案为：2π+2；

点评 本题考查了三角函数与封闭图形的面积；在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力．