Question

15．对于函数f（x）和实数M，若存在m，n∈N^*，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M的一个“生长点”．若（1，2）为函数$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$关于M的一个“生长点”，则M=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由（1，2）为函数$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$关于M的一个“生长点”，得到M=cos（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）+cos（$π+\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{3}$），由此利用诱导公式能求出结果．

解答 解：∵（1，2）为函数$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$关于M的一个“生长点”，
∴M=f（1）+f（1+1）+f（1+2）
=cos（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）+cos（$π+\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{3}$）
=-sin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{3}$
=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、诱导公式的合理运用．