Question

3．已知命题：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）（x-a+3）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件进行转化，结合一元二次函数的性质求出m的范围即可，
（2）求出集合N，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）由x²-x-m=0得m=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-1＜x＜1，∴-$\frac{1}{4}$≤x²-x＜2，
若“?x∈{x|-1＜x＜1}，
则-$\frac{1}{4}$≤m＜2，
即实数m的取值集合M=[-$\frac{1}{4}$，2）；
（2）由（x-a）（x-a+3）＜0得a-3＜x＜a，
即N=（a-3，a），
若x∈N是x∈M的必要条件，
则M⊆N，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{11}{4}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
得2≤a＜$\frac{11}{4}$，
即a的取值范围是2≤a＜$\frac{11}{4}$．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及特称命题的应用，利用条件进行转化是解决本题的关键．