Question

19．一质点做直线运动，在x（单位：s）时离出发点的距离（单位：m）为f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+2x．
（1）求质点在第1s内的平均速度；
（2）求质点在第1s末的瞬时速度；
（3）经过多长时间质点的运动速度达到14m/s？

Answer 1

分析 （1）根据定积分求出质点在第1s内的路程，从而求出质点在第1s内的平均速度即可；
（2）求出f′（1）的值，即质点在第1s末的瞬时速度；
（3）令f′（x）=14，求出x的值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2}{3}$x³+x²+2x，f′（x）=2x²+2x+2，
故${∫}_{0}^{1}$（$\frac{2}{3}$x³+x²+2x）=（$\frac{1}{6}$x⁴+$\frac{1}{3}$x³+x²）${|}_{0}^{1}$=$\frac{3}{2}$，
故质点在第1s内的平均速度是$\frac{3}{2}$m/s；
（2）根据（1）得：f′（1）=6
质点在第1s末的瞬时速度是6m/s；
（3）由2x²+2x+2=14，解得：x=2，
故经过2s质点的运动速度达到14m/s．

点评 本题考查了瞬时速度，考查导数的应意义，是一道基础题．