Question

7．给定0≤x₀＜1对一切整数n＞0，令${x_n}=\left\{\begin{array}{l}2{x_{n-1}}，2{x_{n-1}}＜1\\ 2{x_{n-1}}-1，2{x_{n-1}}≥1\end{array}\right.$，则使x₀=x₆成立的x₀的个数为64．

Answer 1

分析 由题意根据分段函数的取值范围，则x₁=2x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{5}}$），x₂=2x₁∈[0，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₃=2x₂∈[0，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₄=2x₃∈[0，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₅=2x₄∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅，则x₆=2x₅=2²x₄=…=2⁶x₀=x₀，得x₀=0，此时 x₀ 的值有一个；同理，当 x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$）时，x₀ 的值有2²个，当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$）时，x₀ 的值有2³个，当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$）时，x₀ 的值有2⁴个，当x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）时，x₀ 的值有2⁵个，综上，则使 x₀=x₆ 成立的x₀的个数为1+1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=64个，

解答 解：．依题意，${x_n}=\left\{\begin{array}{l}2{x_{n-1}}，2{x_{n-1}}＜1\\ 2{x_{n-1}}-1，2{x_{n-1}}≥1\end{array}\right.$，当x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{6}}$） 时，
x₁=2x₀∈[0，$\frac{1}{{2}^{5}}$），x₂=2x₁∈[0，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₃=2x₂∈[0，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₄=2x₃∈[0，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₅=2x₄∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅，
则x₆=2x₅=2²x₄=…=2⁶x₀=x₀，得x₀=0，此时 x₀ 的值有一个；
当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{6}}$，$\frac{1}{{2}^{5}}$） 时，
x₁=2x₀∈[$\frac{1}{{2}^{5}}$，$\frac{1}{{2}^{4}}$），x₂=2x₁∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₃=2x₂∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₄=2x₃∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$），x₅=2x₄∈[$\frac{1}{2}$，1），x₆=2x₅-1，
故有x₆=2x₅-1=2²x₄-1=…=2⁶x₀-1=x₀，得x₀=$\frac{1}{63}$，此时x₀ 的值有一个；
当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{5}}$，$\frac{1}{{2}^{4}}$） 时，x₁=2x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$），x₂=2x₁∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$），x₃=2x₂∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$），x₄=2x₃∈[$\frac{1}{2}$，1），x₅=2x₄∈[0，1），x₆=2x₅-1，
当x₅∈[0，$\frac{1}{2}$），x₆=2x₅=2（2x₄-1）=…=2⁶x₀-2=x₀，得：x₀=$\frac{2}{63}$，
当x₅∈[$\frac{1}{2}$，1），x₆=2x₅=2（2x₄-1）-1=…=2⁶x₀-3=x₀，得：x₀=$\frac{3}{63}$=$\frac{1}{21}$，
此时x₀ 的值有2个；
同理，当 x₀∈[$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$）时，x₀ 的值有2²个，
当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$）时，x₀ 的值有2³个，
当x₀∈[$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{1}{2}$）时，x₀ 的值有2⁴个，
当x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）时，x₀ 的值有2⁵个，
综上，则使 x₀=x₆ 成立的x₀的个数为1+1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=64个，
故答案为：64．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．