题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
与
之间有关系|k
+
|=
|
-k
|，（k≥2）．
（1）用k表示
•
；
（2）求
•
的最小值，并求此时
•
的夹角的余弦值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）用k表示
| a |
| b |
（2）求
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算性质即可得出．
（2）利用导数可得函数f（k）的单调性，即可得出最小值，再利用数量积定义即可得出．
（2）利用导数可得函数f（k）的单调性，即可得出最小值，再利用数量积定义即可得出．
解答：
解：（1）|
|=
=1，同理|
|=1．
∵|k
+
|=
|
-k
|，（k≥2）．
∴k2
2+
2+2k
•
=3(
2-2k
•
+k2
2)，
即k2+1+2k
•
=3(1+k2-2k
•
)，
解得
•
=
．
（2）当k≥2时，函数f(k)=
，
∴f′（k）=
＞0，
∴f（k）在[2，+∞）上为增函数．
∴
•
的最小值为f(2)=
=
，
又∵
•
=|
|•|
|•cos＜
，
＞，
∴
=1×1×cos＜
，
＞，
∴cos＜
，
＞=
，此时a与b的夹角余弦值为
．
| a |
| cos2α+sin2α |
| b |
∵|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
即k2+1+2k
| a |
| b |
| a |
| b |
解得
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
（2）当k≥2时，函数f(k)=
| k2+1 |
| 4k |
∴f′（k）=
| k2-1 |
| 4k2 |
∴f（k）在[2，+∞）上为增函数．
∴
| a |
| b |
| 22+1 |
| 4•2 |
| 5 |
| 8 |
又∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| 5 |
| 8 |
| a |
| b |
∴cos＜
| a |
| b |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
点评：本题考查了利用导数可得函数的单调性极值与最值、数量积定义及其运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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