Question

若x≠0．求

1+x2+x4 - 1+x4

x

的最大值．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据题意，要求式子的最大值，则x＞0，化简

1+x2+x4 - 1+x4

x

，利用基本不等式，求出它的最大值．

解答： 解：∵x≠0时，1+x²+x⁴＞1+x⁴，
∴

1+x2+x4

-

1+x4

＞0；
要求式子的最大值，则x＞0，
∴

1+x2+x4 - 1+x4

x

=

1 x2 +1+x2

-

1 x2 +x2

=

1

1 x2 +x2+1 + 1 x2 +x2

≤

1

2 1 x2 •x2 +1 + 2 1 x2 •x2

=

1

3 + 2

=

3

-

2

；
当且仅当

1

x2

=x²，即x=1时，“=”成立；
∴x=1时，原式取得最大值，最大值为

3

-

2

．

点评：本题考查了二次根式的化简与求最小值问题，解题时应对二次根式进行化简以及分母有理化，结合基本不等式得出答案．