Question

7．已知函数f（x）=x²+ax+b，不等式f（x）≤3的解集为[1，2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m∈R）上的最小值g（m）．

Answer 1

分析 （1）利用不等式f（x）≤3的解集为[1，2]，可得x²+ax+b-3=0的解为1，2，求出a，b，即可求f（x）的解析式；
（2）配方确定函数的对称轴，再进行分类讨论，利用函数的单调性，即可求得二次函数f（x）在[m，m+1]（m∈R）上的最小值g（m）．

解答 解：（1）∵不等式f（x）≤3的解集为[1，2]，
∴x²+ax+b-3=0的解为1，2，
∴1+2=-a，1×2=b-3，
∴a=-3，b=5；
（2）f（x）=x²-3x+5=（x-1.5）²+2.75的对称轴为 x=1.5，
当m+1＜1.5，即m＜0.5时，f（x）在[m，m+1]是减函数．
∴f（x）_min=f（m+1）=（m-0.5）²+2.75
当m≤1.5≤m+1，即0.5≤m≤1.5时，f（x）在[m，1.5]是减函数，在[1.5，m+1]是增函数．
f（x）_min=f（1.5）=2.75
当m＞1.5时，f（x）在[m，m+1]是增函数，∴f（x）_min=f（m）=（m-1.5）²+2.75．
∴g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（m-0.5）^{2}+2.75，m＜0.5}\\{2.75，0.5≤m≤1.5}\\{（m-1.5）^{2}+2.75，m＞1.5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．