Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+π）=

f(x)

π

，且x∈[-

π

2

，

π

2

]时，f（x）=xsinx+cosx-

π

2

，则当x∈[-3π，-2π]时，f（x）的最小值为（　　）

• A、

  2π3-π4

  2

• B、

  2π2-π3

  2

• C、

  2-π

  2π

• D、

  2-π

  2π2

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：由已知可得f（x）=π^kf（x+kπ），分当x∈[-3π，-

5π

2

]时和当∈[-

5π

2

，-2π]时两种情况，讨论函数的单调性，进而可得最小值．

解答： 解：∵f（x+π）=

f(x)

π

，
∴f（x+kπ）=

f(x)

πk

，k∈Z，
即f（x）=π^kf（x+kπ），
又∵x∈[-

π

2

，

π

2

]时，f（x）=xsinx+cosx-

π

2

，
①当x∈[-3π，-

5π

2

]时，x+3π∈[-0，

π

2

]，
此时f（x+3π）=（x+3π）sin（x+3π）+cos（x+3π）-

π

2

=-（x+3π）six-cosx-

π

2

，
则f（x）=π³f（x+kπ）=-π³[（x+3π）six+cosx+

π

2

]，
则f′（x）=-π³（x+3π）cosx≥0，故此时f（x）为增函数，
最小值为f（-3π）=

2π3-π4

2

，
②当∈[-

5π

2

，-2π]时，x+2π∈[-

π

2

，0]，
此时f（x+2π）=（x+2π）sin（x+2π）+cos（x+2π）-

π

2

=（x+2π）six+cosx-

π

2

，
则f（x）=π²f（x+kπ）=π²[（x+2π）six+cosx-

π

2

]，
则f′（x）=π²（x+2π）cosx≥0，故此时f（x）为增函数，
综上f（x）的最小值为f（-3π）=

2π3-π4

2

，
故选：A

点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，函数的单调性，函数的最值上，综合性强，运算强度大，属于难题．